三進(jìn)制砝碼——“道生一，一生二，二生三，三生萬物”

　　三進(jìn)制是“逢三進(jìn)一,退一還三”的進(jìn)制。

　　三進(jìn)制數(shù)碼包括“0，1和2。”

　　三進(jìn)制數(shù)位小數(shù)點(diǎn)前從右往左依次是1位，3位，9位，27位，81位，243位……

　　三進(jìn)制數(shù)位小數(shù)點(diǎn)后從左往右依次是3分位，9分位，27分位，81分位……

　　寫時(shí)注意應(yīng)打括號，加下標(biāo)的3，如（1201）3。讀作一二零一，不能讀成一千二百零一，這是因?yàn)樗鼈儗?yīng)于27位，9位，3位和1位，不是千百十個(gè)位！

　　一些常見的十進(jìn)制數(shù)換三進(jìn)制表

　　十進(jìn)制 三進(jìn)制

　　0 0

　　1 1

　　2 2

　　3 10

　　4 11

　　5 12

　　6 20

　　7 21

　　8 22

　　9 100

　　10 101

　　... ...

　　三進(jìn)制在實(shí)際生活中較少用到，下面舉一例：

　　三進(jìn)制數(shù)是以下問題的答案：

　　允許在天平兩端放置砝碼，問N個(gè)砝碼如何才能稱出多的整克物體？

　　答案：1.一個(gè)砝碼取1克，只能稱1克。

　　2.二個(gè)砝碼取1克，3克

　　右盤3，左盤1。稱2克

　　右盤3。稱3克

　　右盤1，3。稱4克

　　3.三個(gè)砝碼取1克，3克，9克

　　右盤9，左盤1，3。稱5克

　　右盤9，左盤3。稱6克

　　右盤9，1，左盤3。稱7克

　　右盤9，左盤1。稱8克

　　右盤9。稱9克

　　右盤9，1。稱10克

　　右盤9，3，左盤1。稱11克

　　右盤9，3。稱12克

　　右盤9，3，1。稱13克

　　4.四個(gè)砝碼取1克，3克，9克，27克。

　　............

　　其中的1，3，9，27，81等都是三進(jìn)制數(shù)的數(shù)位。

一、數(shù)學(xué)原理：

用天平稱量物體實(shí)際上是把物體放在一個(gè)托盤上，然后在兩個(gè)托盤上分別加上適當(dāng)?shù)捻来a，使得天平保持平衡，這時(shí)物體的質(zhì)量就等于這兩個(gè)托盤上砝碼各自質(zhì)量之和的差值。這樣一來，世界上砝碼組合問題就轉(zhuǎn)變成純數(shù)學(xué)的整數(shù)優(yōu)拆分問題了：

如何將3280分解成一些較小的數(shù)（正整數(shù)，下同），取出一部分這些數(shù)（每一個(gè)數(shù)在一次運(yùn)算中只能使用一次，即滿足砝碼的*性）進(jìn)行或加或減的運(yùn)算就能得到一個(gè)新的數(shù)。而且用這種方法得到的數(shù)集里必須包含了從1到3280的所有正整數(shù)。

（1）  首先讓我們來看理論上能不能做到。假設(shè)這樣的一組數(shù)存在，我們設(shè)為n個(gè)，從小到大分別為：A1,A2,…,An即：A1<A2<…<An（n為正整數(shù)）現(xiàn)在我們來看這一組數(shù)是如何組成一個(gè)新的數(shù)的。

K1A1+ K2A2+….+KnAn  （其中k1,k2,….,kn的取值只能是-1，0，+1這三個(gè)數(shù)，n是正整數(shù)）

根據(jù)要求，我們知道A1,A2,…,An這一組數(shù)必須滿足下面這些條件：

A1+A2+…+An=3280           …………………①

K1A1+ K2A2+….+KnAn  當(dāng)k1到kn取完所有的可能值時(shí)，至少能產(chǎn)生3280個(gè)數(shù)字 ，而這些數(shù)字里還必須有1至3280的所有正整數(shù)。  .................②

式子②所能產(chǎn)生的數(shù)字個(gè)數(shù)問題實(shí)際上又是排列組合問題，K1,K2,…,Kn每個(gè)都有三種取值的可能，所以所能組成的數(shù)字的總個(gè)數(shù)P=3^n。這些數(shù)字中有0，有正整數(shù)，也有負(fù)整數(shù)，由于對稱性，正整數(shù)和負(fù)整數(shù)的個(gè)數(shù)是一樣多的。所以實(shí)際產(chǎn)生的正整數(shù)的總個(gè)數(shù)應(yīng)該是：T=（P-1）/2=（3^n-1）/2.

設(shè)T=3280，（如果此式能成立，則剛好能產(chǎn)生1到3280的所有正整數(shù)）

即：T=（P-1）/2=（3^n-1）/2.=3280。  

解之得：         n=8

這就從理論上證明了3280能分成8個(gè)較少的數(shù)字，并且從這8個(gè)數(shù)字中取出m（m<=8的正整數(shù)）個(gè)進(jìn)行或加或減所生成的所有正整數(shù)剛好就是1至3280的所有自然正整數(shù)。

（2）  既然理論上是可以做到的，那我們就實(shí)際來做一做。

顯然：    A1=1， 因?yàn)?/span>1是自然數(shù)的始祖，少了它肯定不行。

那么A2是多少呢？ A2與1可以組成的數(shù)字：A2-1，A2，A2+1，顯然A2-1=2，解之得：  A2=3

有了1和3這兩個(gè)數(shù)字我們就能產(chǎn)生數(shù)字：1，2，3，4

增加A3后，我們又能增加這些數(shù)：

A3-4，A3-3，A3-2，A3-1，A3，A3+1，A3+2 ，A3+3，A3+4

同理A3-4=5，解之得：A3=9

。。。。。。

同理我們可以得到A4=27，A5=81，A6=243，A7=729，X8=2187

現(xiàn)在讓我們驗(yàn)證方程①是否成立，

A1+A2+…+An=1+3+9+27+81+243+729+2187=3280

    方程①成立。

到此我們不但在理論上而且在實(shí)際上也找到了這8個(gè)數(shù)字了，它們分別是

1  3  9  27  81  243  729  2187

二、使用手冊

砝碼的使用問題歸根結(jié)底是數(shù)學(xué)問題，所以我們在這里就說數(shù)學(xué)問題吧。也就是說如何用1  3  9  27  81  243  729  2187這8個(gè)原始數(shù)字表示1至3280的某一個(gè)具體的數(shù)字，先讓我們來做幾道簡單的算術(shù)題：

1

1+3=4

1+3+9=13

1+3+9+27= 40

1+3+9+27+81=121

1+3+9+27+81+243=364

1+3+9+27+81+243+729=1093

1+3+9+27+81+243+729+2187=3280

我們把1至3280的所有正整數(shù)分在7個(gè)區(qū)間里，它們分別是：

Q1= [1  4]                       1∈Q1，3∈Q1

Q2=（4  13]                     9∈Q2

Q3=（13  40]                    27∈Q3

Q4=（40  121]                   81∈Q4

Q5=（121  364]                  243∈Q5

Q6=（364  1093]                 729∈Q6

Q7=（1093  3280]                2187∈Q7

其中“（”表示開區(qū)間，“]”表示閉區(qū)間。

.

顯然,給我們?nèi)魏我粋€(gè)數(shù)A（1<=A<=3280），我們先看A屬于哪個(gè)區(qū)間，在哪個(gè)區(qū)間就取也同在那個(gè)區(qū)間的那個(gè)原始數(shù)字來做減數(shù)與A相減，比如數(shù)字A與原始數(shù)字B1在同一區(qū)間，則A可以表示成

        A=B1+K1   或A=B1-K1     ……. ①

現(xiàn)在再看K1在哪個(gè)區(qū)間，如果K1和原始數(shù)字B2在同一區(qū)間，則K1可表示成

        K1=B2+K2  或K1=B2-K2    ………②

依此類推，只到所有的數(shù)字都變成原始數(shù)字為止。即

        ……………………………………………….

        Kn-1=Bn+Kn  或Kn-1=Bn-Kn ……….（n）

（其中A，B，K，n都是正整數(shù)）

這時(shí)將式（n）代入式（n-1）, 式（n-1）代入式（n-2）……式②代入式①

這樣全部用原始數(shù)字表示的數(shù)字A就完成了。下面用具體的數(shù)字為例加以說明。

例（1）用天平稱取2008克物品。即A=2008

解：

2008∈Q7， 2187∈Q7，所以

           2008=2187-179

179∈Q5， 243∈Q5，并且179= 243-64

所以

          2008=2187-243+64

64∈Q4 ，  81∈Q4，并且64=81-17

所以

         2008=2187-243+81-17

17∈Q3， 27∈Q3，并且17=27-10

所以

         2008=2187-243+81-27+10

10∈Q2， 9∈Q2， 并且10=9+1

所以

2008=2187-243+81-27+9+1

又因?yàn)?/span>1是原始數(shù)字，所以到這里就可以OK了。

在使用天平稱取2008克物品時(shí)，243克，27克的砝碼和物品放在同一邊托盤上，2187克，81克，9克，1克的砝碼放在另一邊托盤上即可，當(dāng)天平平衡時(shí)，這時(shí)物品的質(zhì)量就是2008克。

   例（2）用天平稱取1997克物品，即A=1997

   解

      1997∈Q7， 2187∈Q7

       所以      1997=2187-190

      190∈Q5，243∈Q5，并且 190=243-53

    所以   1997=2187-243+53

       53∈Q4，81∈Q4，并且 53=81-28

    所以   1997=2187-243+81-28

       28∈Q3，27∈Q3，并且28=27+1

    所以   1997=2178-243+81-27-1

       8∈Q2，9∈Q2，并且 8=9-1

    所以   1997=2178-243+81-27-1

在使用天平稱取1997克物品時(shí)，物品和質(zhì)量為243克，27克，1克的砝碼放在一個(gè)托盤上，2178克，81克的砝碼放在另一托盤上，當(dāng)天平平衡時(shí)，此時(shí)物品的質(zhì)量即為1997克。