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閱讀：4發(fā)布時(shí)間：2024-12-17
傅里葉變換公式推導(dǎo),傅里葉變換性質(zhì)公式張世龍06-08 15:08113次瀏覽
傅立葉變換(FT )傅立葉變換的目的是將時(shí)域(即時(shí)域)上的信號(hào)變換為頻域)上的信號(hào)，由于對(duì)同一事物的理解角度根據(jù)區(qū)域而變化，所以在時(shí)域中有時(shí)難以處理，但在頻域中比較容易處理。
傅立葉變換公式：
(w是頻率，t是時(shí)間，e^-iwt是復(fù)函數(shù)) ) )。
在傅立葉變換中，一個(gè)周期函數(shù)(信號(hào))包含多個(gè)頻率成分，任意函數(shù)(信號(hào)) (f )、t )可以通過將多個(gè)周期函數(shù)(基函數(shù))相加來合成。
要從物理上理解傅立葉變換，請(qǐng)使用一系列特殊函數(shù)(三角函數(shù))作為正交基礎(chǔ)對(duì)原始函數(shù)進(jìn)行線性變換，其物理意義為原函數(shù)在各組基函數(shù)的投影。
傅立葉公式推導(dǎo)：我們首先從函數(shù)f(t )是周期性函數(shù)推導(dǎo)出來，然后推導(dǎo)出非周期性函數(shù)的傅立葉變換，傅里葉公式一般就是指非周期行函數(shù)的傅里葉變換（FT）。（1）對(duì)于周期為1的函數(shù)f(t)
(此處的x今后標(biāo)記為t ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )。
歐拉公式這里的Ck是一個(gè)復(fù)數(shù)，Ck一般稱為傅里葉系數(shù)，平時(shí)對(duì)頻域的變換，一般改變的就是Ck。
例如，該圖表中頻方向的圖表的每個(gè)頻域的值是Ck的值
接著求出Ck值
自由
對(duì)函數(shù)進(jìn)行兩邊積分
(上述k指的是頻域上的x坐標(biāo)，每個(gè)k值為赫茲，且t表示時(shí)域上的時(shí)間)
為了模擬一個(gè)信號(hào)，信號(hào)不能通過有限個(gè)周期函數(shù)的相加來確定，存在大的誤差，不能得到的近似，所以用無限的周期函數(shù)來近似
由此可知，傅立葉變換是時(shí)域和頻域的變換關(guān)系。
（2）對(duì)于非周期函數(shù)f(t)
對(duì)于一個(gè)信號(hào)的處理，信號(hào)一般不是周期性的，所以這里會(huì)產(chǎn)生非周期性函數(shù)(信號(hào))的處理。
對(duì)于非周期函數(shù)高級(jí)傅里葉公式，可假定非周期函數(shù)是具有周期函數(shù)的部分，但是該非周期函數(shù)的t范圍可以非常大。 :// /
f(t )是周期為t的函數(shù)，t接近無限的周期函數(shù)
傅立葉級(jí)數(shù)[f(t ) ]是
傅立葉系數(shù)為(注：無限大的周期t，因此與0-T至(-T/2 )-) t/2 )相同)傅里葉變換當(dāng)周期趨近于無窮，是傅里葉系數(shù)的一般化
這是對(duì)時(shí)域中的函數(shù)圖像進(jìn)行傅立葉變換后的光譜圖。
重要的是： 傅里葉逆變換是對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)的一般化
另一方面，:// /
:// /
特別是在頻譜圖中你看到的每一條豎線就是|CK|的值時(shí)，頻譜間隔越來越近，最終為對(duì)于周期為1的函數(shù)頻域上每條線的間隔為1。周期為T的函數(shù)，頻域上的間隔為1/T
如果將非周期函數(shù)視為周期函數(shù)的一部分，是否會(huì)出現(xiàn)傅立葉變換的結(jié)果？
其實(shí)這不正確。 t無限接近時(shí)，Ck趨向零，因此傅立葉系數(shù)整體的公式?jīng)]有意義。
將f(t )設(shè)為區(qū)間a、b之間的其他為0，取較大的周期t設(shè)為a-T/2bT/2，將t設(shè)為函數(shù)進(jìn)行擴(kuò)展(|Ck|因?yàn)槭菑?fù)函數(shù)所以關(guān)于x軸對(duì)稱) )。
下圖：
(a，b外函數(shù)為0 ) ) ) ) ) ) )。
(負(fù)指數(shù)值為1 )
此時(shí)值為固定值m
也就是說
也就是時(shí)域周期與頻域有反比的關(guān)系。
即使每個(gè)頻率的系數(shù)為0高級(jí)傅里葉公式，這個(gè)f(t )還有什么用？
因此，我們從另一個(gè)角度分析:3358 /
(即不需要CK1/t的部分)
(這里與上面推導(dǎo)f(t )的結(jié)果相同)即 T1 -1/T1 頻譜會(huì)被擴(kuò)展
就這樣
關(guān)于f(t )，請(qǐng)參閱當(dāng) T1 -1/T1 頻譜會(huì)被壓縮，即T趨近于無窮
順便給出傅立葉逆變換公式：
參考文章： /question/
3359 /question/
斯坦福大學(xué)課程：傅立葉變換及其應(yīng)用
傅里葉變換百科,1/t的傅里葉變換
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