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這原本是我在知乎上對(duì)傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z變換的聯(lián)系？為什么要進(jìn)行這些變換。研究的都是什么？問(wèn)題的回答，實(shí)際上是我在本科學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和信號(hào)處理期間的思考，知乎上的答案因?yàn)閷懙脗}(cāng)促，只寫了一些大致思想，沒(méi)有具體展開(kāi)，也沒(méi)有圖，比較難以理解，這里重新整理了一下，匯成此文。

本文要求讀者需要在對(duì)傅里葉變換有一定的了解的基礎(chǔ)之上閱讀，至少要知道怎么算傅里葉變換。此外部分地方要求讀者有一定的微分方程基礎(chǔ)，至少會(huì)求簡(jiǎn)諧振子的二階常微分方程吧。

什么是傅里葉變換

高等數(shù)學(xué)中一般是從周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)開(kāi)始介紹的，這里也不例外。簡(jiǎn)單的說(shuō)，從高中我們就學(xué)過(guò)一個(gè)理想的波可以用三角函數(shù)來(lái)描述，但是實(shí)際上的波可以是各種奇形怪狀的。首先我們來(lái)看具有固定周期的波，下圖中展示了4種常見(jiàn)的周期波。傅里葉級(jí)數(shù)告訴我們，這些周期信號(hào)都可以分解為有限或無(wú)限個(gè)正弦波或余弦波的疊加，且這些波的頻率都是原始信號(hào)頻率的整數(shù)倍。

這里被稱為這些波的基頻，代表直流系數(shù)，系數(shù)被稱為幅度，被稱作相位。根據(jù)幅度和相位可以利用反變換恢復(fù)信號(hào)的波形，因此幅度和相位包含了信號(hào)的全部信息。這里的幅度關(guān)于頻率的函數(shù)，我們稱之為頻譜，相位關(guān)于頻率的函數(shù)，稱之為相位譜。

下圖是矩形波分解為多個(gè)正弦波的示意圖，隨著正弦波數(shù)目的增加，可以無(wú)限地逼近矩形波。對(duì)于非周期信號(hào)，我們不能簡(jiǎn)單地將它展開(kāi)為可數(shù)個(gè)正弦波的疊加，但是可以利用傅里葉變換展開(kāi)為不可數(shù)的正弦波的疊加，其表達(dá)式可以通過(guò)簡(jiǎn)單得到。

我們?nèi)粘Ｓ龅降那僖?、震?dòng)等都可以分解為正弦波的疊加，電路中的周期電壓信號(hào)等信號(hào)都可以分解為正弦波的疊加。那么問(wèn)題來(lái)了，為什么我們要將信號(hào)分解為正弦波的疊加呢？這里面包含兩個(gè)問(wèn)題，為什么要分解？為什么是正弦波（或余弦波），可不可以是其他的波？另一個(gè)問(wèn)題是對(duì)通信的同學(xué)的，我們學(xué)過(guò)多個(gè)變換那么這些變換之間有哪些關(guān)系？ 在下面的篇章中，我將回答這三個(gè)問(wèn)題。

為什么要分解為正弦波的疊加

這個(gè)問(wèn)題可以追溯到傅里葉變換的創(chuàng)始人傅里葉解熱傳導(dǎo)方程的時(shí)候，因?yàn)闊醾鲗?dǎo)方程要求讀者對(duì)熱力學(xué)有一定了解，這里我以簡(jiǎn)諧振子系統(tǒng)為例來(lái)說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題。沒(méi)有阻尼的簡(jiǎn)諧振子系統(tǒng)可以用下面這個(gè)微分方程來(lái)描述

分別代表位移、時(shí)間、系統(tǒng)固有頻率和外界驅(qū)動(dòng)力。當(dāng)沒(méi)有外界驅(qū)動(dòng)力時(shí)，這個(gè)系統(tǒng)有通解

現(xiàn)在我們考慮存在外界驅(qū)動(dòng)力的場(chǎng)景，熟悉常微分方程理論的可以知道此時(shí)的通解是上述其次方程的通解（恒為0）加上一個(gè)特解，所謂特解就是某個(gè)滿足上述非齊次方程（不恒為0）的任意一個(gè)接！那為什么能做這種分解呢？原因在于這是一個(gè)線性系統(tǒng)，或者說(shuō)這個(gè)方程是一個(gè)線性方程，因此遵循疊加原理，可以簡(jiǎn)單的證明這個(gè)一般性結(jié)論。假設(shè)線性系統(tǒng)可以由線性微分方程來(lái)描述

是線性算子，你可以簡(jiǎn)單地理解為諧振子方程中的左邊操作。如果分別是其次方程通解和非齊次方程特解，即他們滿足

那么將這兩個(gè)式子相加，就可以得到

因此，只剩下一個(gè)問(wèn)題，對(duì)于給定的驅(qū)動(dòng)力，怎么找特解的問(wèn)題了。也許你還記得在高數(shù)的書上，對(duì)為三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)時(shí)，可以有和形式相同的特解。例如時(shí)，可以假定非齊次方程也有這種形式的特解，代入原方程，求出待定常數(shù)可得特解。指數(shù)形式的驅(qū)動(dòng)力也類似，那么對(duì)于其他形式的驅(qū)動(dòng)力，怎么求特解呢？很簡(jiǎn)單，利用線性疊加原理，我如果求出很多個(gè)為正弦驅(qū)動(dòng)力下的特解，并且如果可以表達(dá)為這些正弦波的疊加，那么特解不就可以用這些特解的疊加得到了么？用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述就是

上面第二個(gè)式子右邊如果等于，那么左邊的就是原齊次方程的特解。簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是將驅(qū)動(dòng)力做傅里葉變換（如果是周期驅(qū)動(dòng)力則展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)），求出每個(gè)基驅(qū)動(dòng)力的特解，然后疊加得到特解。當(dāng)然實(shí)際求解不用那么繞，以簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程為例，直接對(duì)方程左右兩邊做傅里葉變換即得

上式帶尖頭的函數(shù)代表時(shí)域函數(shù)的傅里葉變換傅里葉變換通俗理解，這是一個(gè)代數(shù)方程，容易求得

通過(guò)上述描述，我們可以看到，將一個(gè)函數(shù)做傅里葉變換或者展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，可以幫助我們求解線性微分方程，或者從實(shí)際意義來(lái)說(shuō)，可以幫助我們分析一個(gè)線性系統(tǒng)對(duì)外界做出如何響應(yīng)！之所以能這樣展開(kāi)，是因?yàn)槲覀兎治龅氖蔷€性系統(tǒng)，如果是非線性系統(tǒng)就不能這樣操作了。至于為什么是三角函數(shù)，我在下面將會(huì)回答，接下來(lái)我們先來(lái)看看更多的例子。

傅里葉變換與信號(hào)系統(tǒng)

這里，我們對(duì)通信相關(guān)的領(lǐng)域再舉一個(gè)例子，來(lái)說(shuō)明展開(kāi)為三角函數(shù)（或者復(fù)指數(shù)函數(shù)）的重要性。這種分析，我們稱之為傅里葉分析，或者叫頻譜分析。

一個(gè)信號(hào)，通常用一個(gè)時(shí)間的函數(shù)來(lái)表示，這樣簡(jiǎn)單直觀，因?yàn)樗暮瘮?shù)圖像可以看做信號(hào)的波形，比如聲波和水波等等。很多時(shí)候，對(duì)信號(hào)的處理是很特殊的，比如說(shuō)線性電路會(huì)將輸入的正弦信號(hào)處理后，輸出仍然是正弦信號(hào)，只是幅度和相位有一個(gè)變化。這是因?yàn)榫€性電路都可以用常系數(shù)線性微分方程來(lái)描述，輸入信號(hào)可以看做外界驅(qū)動(dòng)力，輸出可以看做系統(tǒng)地響應(yīng)，這和上面的諧振子方程類似。因此，如果我們將信號(hào)全部分解成正弦信號(hào)的線性組合（傅里葉變換），那么就可以用一個(gè)傳遞函數(shù)來(lái)描述這個(gè)線性系統(tǒng)。倘若這個(gè)信號(hào)很特殊，例如，傅里葉變換在數(shù)學(xué)上不存在，這個(gè)時(shí)候就引入拉普拉斯變換來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。這樣一個(gè)線性系統(tǒng)都可以用一個(gè)傳遞函數(shù)來(lái)表示。所以，從這里可以看到將信號(hào)分解為正弦函數(shù)（傅里葉變換）或者 復(fù)指數(shù)函數(shù)（拉普拉斯變換）對(duì)分析線性系統(tǒng)也是至關(guān)重要的。

傅里葉變換與量子力學(xué)

量子力學(xué)的波函數(shù)可以用多種不同的表象來(lái)描述，例如坐標(biāo)表象、動(dòng)量表象、能量表象等，不同表象之間的變換實(shí)際上是希爾伯特空間的一個(gè)幺正變換，其中坐標(biāo)表象和動(dòng)量表象之間的變換就是傅里葉變換。

傅里葉變換、拉普拉斯、Z變換、離散傅里葉變換的關(guān)系

信號(hào)處理中經(jīng)常要對(duì)信號(hào)做各種變換，其中傅里葉變換、拉普拉斯、Z變換、離散傅里葉變換是最基礎(chǔ)的幾個(gè)變換。他們都是為了對(duì)信號(hào)做頻譜分析而采用的變換，只不過(guò)被變換的信號(hào)會(huì)有一些差異。

如果只關(guān)心信號(hào)本身，不關(guān)心系統(tǒng)，這幾個(gè)變換的關(guān)系可以通過(guò)下面這樣一個(gè)過(guò)程聯(lián)系起來(lái)。

從模擬信號(hào)開(kāi)始，如果模型信號(hào)能量是有限的，那么我們可以對(duì)它做傅里葉變換，把它用頻域表達(dá)為。如果信號(hào)的能量是無(wú)限的，那么傅里葉變換將不會(huì)收斂，這種時(shí)候可以對(duì)它做拉普拉斯變換。如果我們將拉普拉斯的域畫出來(lái)，他是一個(gè)復(fù)平面，拉普拉斯變換是這個(gè)復(fù)平面上的一個(gè)復(fù)變函數(shù)。而這個(gè)函數(shù)沿虛軸的值就是傅里葉變換。

拉普拉斯變換和傅里葉變換廣泛應(yīng)用在模擬電路分析當(dāng)中，下圖就是對(duì)模擬電路中基本元件的域建模示意圖，當(dāng)時(shí)，就是傅里葉變換了。

需要明確一個(gè)觀點(diǎn)，不管使用時(shí)域還是頻域（或s域）來(lái)表示一個(gè)信號(hào)，他們表示的都是同一個(gè)信號(hào)！也就是說(shuō)，上面的時(shí)域表達(dá)、頻域表達(dá)和域表達(dá)都表示的是同一個(gè)模擬信號(hào)。關(guān)于這一點(diǎn)，你可以從線性空間的角度理解。同一個(gè)信號(hào)，如果采用不同的坐標(biāo)框架（或者說(shuō)基向量），那么他們的坐標(biāo)就不同。例如，采用作為坐標(biāo)，那么信號(hào)就可以表示為，而采用則表示為傅里葉變換的形式。兩個(gè)不同坐標(biāo)框架下，同一個(gè)向量的坐標(biāo)可以通過(guò)一個(gè)線性變換聯(lián)系起來(lái)，如果是有限維的空間，則可以表示為一個(gè)矩陣，在這里是無(wú)限維，這個(gè)線性變換就是傅里葉變換。

到現(xiàn)在，對(duì)信號(hào)的形式還沒(méi)有多少假定，如果信號(hào)是帶寬受限信號(hào)，也就是說(shuō)只在一個(gè)小范圍內(nèi)（如）不為0。之所以要做這個(gè)假定以及這個(gè)假定的合理性是根據(jù)實(shí)際需要而定的。在一個(gè)通信系統(tǒng)或者信號(hào)處理系統(tǒng)中，無(wú)限帶寬的信號(hào)是無(wú)法處理的，而且一般接受信號(hào)的期間都會(huì)有一定的帶寬，所以這是對(duì)實(shí)際中的信號(hào)的一種理想假設(shè)?，F(xiàn)代的信號(hào)處理系統(tǒng)多是數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)，即使是模擬系統(tǒng)，現(xiàn)在也多將復(fù)雜的處理放到數(shù)字信號(hào)處理子系統(tǒng)端進(jìn)行處理，這兩個(gè)系統(tǒng)之間通過(guò) AD、DA 連接起來(lái)。根據(jù)采樣定理，只要采樣的頻率足夠高（大于兩倍帶寬），就可以無(wú)失真地將信號(hào)還原出來(lái)。那么采樣對(duì)信號(hào)的影響是什么呢？從s平面來(lái)看，時(shí)域的采樣將沿虛軸方向作周期延拓！這個(gè)性質(zhì)從數(shù)學(xué)上可以很容易驗(yàn)證。下圖顯示的是就是采樣對(duì)信號(hào)頻譜的影響，只畫出虛軸上的圖像。這個(gè)性質(zhì)也很好的解釋了為什么要兩倍的采樣頻率，這樣才能使得周期延拓后頻譜不會(huì)重疊到一起。設(shè)是采樣頻率，則采樣后信號(hào)在域可以表達(dá)為

對(duì)于采樣后的信號(hào)，可以利用指數(shù)變換將域的帶狀區(qū)域變換到單位圓內(nèi)。這就是z變換，它可以看做拉普拉斯變換的一種特殊形式，即做了一個(gè)代換，是采樣頻率。這個(gè)變換將信號(hào)從s域變換到z域。請(qǐng)注意，s域和z域表示的是同一個(gè)信號(hào)，即采樣完了之后的信號(hào)，只有采樣才會(huì)改變信號(hào)本身！從復(fù)平面上來(lái)看，這個(gè)變換將與軸平行的條帶變換到z平面的一個(gè)單葉分支，并且將虛軸映射到單位圓。時(shí)也稱作離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT)。你會(huì)看到前面采樣導(dǎo)致的周期延拓產(chǎn)生的條帶重疊在一起了，因?yàn)榫哂兄芷谛?，所以z域不同的分支的函數(shù)值是相同的。換句話說(shuō)，如果沒(méi)有采樣，直接進(jìn)行z變換，將會(huì)得到一個(gè)多值的復(fù)變函數(shù)！所以一般只對(duì)采樣完了后的信號(hào)做z變換！

這里講了時(shí)域的采樣，時(shí)域采樣后，信號(hào)只有間的頻譜，即頻率只有采樣頻率一半，但是要記錄這樣一個(gè)信號(hào)，仍然需要無(wú)限大的存儲(chǔ)空間，可以進(jìn)一步對(duì)頻域進(jìn)行采樣。如果時(shí)間有限（實(shí)際上這與頻率受限互相矛盾，但大多數(shù)信號(hào)近似成立）的信號(hào)，那么通過(guò)頻域采樣（時(shí)域做周期擴(kuò)展）可以不失真地從采樣的信號(hào)中恢復(fù)原始信號(hào)。并且信號(hào)長(zhǎng)度是有限的，這就是離散傅里葉變換(DFT)，它有的快速算法快速傅里葉變換(FFT)。為什么DFT這么重要呢，因?yàn)橛?jì)算機(jī)要有效地對(duì)一般的信號(hào)做傅里葉變換，都是用DFT來(lái)實(shí)現(xiàn)的，除非信號(hào)具有簡(jiǎn)單的解析表達(dá)式！利用上述關(guān)系，可以推導(dǎo)出DFT在第k個(gè)頻點(diǎn)的值為

上述推導(dǎo)利用到兩個(gè)基本公式

總結(jié)起來(lái)說(shuō)，就是對(duì)于一個(gè)線性系統(tǒng)，輸入輸出是線性關(guān)系的，不論是線性電路還是光路，只要可以用一個(gè)線性方程或線性微分方程（如拉普拉斯方程、泊松方程等）來(lái)描述的系統(tǒng)，都可以通過(guò)傅里葉分析從頻域來(lái)分析這個(gè)系統(tǒng)的特性，比單純從時(shí)域分析要強(qiáng)大得多！兩個(gè)的應(yīng)用例子就是線性電路和傅里葉光學(xué)（信息光學(xué)）。甚至非線性系統(tǒng)，也在很多情況里面使用線性系統(tǒng)的東西！所以傅里葉變換才這么重要！你看傅里葉也是為了求解熱傳導(dǎo)方程（那里其實(shí)也可以看做一個(gè)線性系統(tǒng)）！

傅里葉變換的思想還在不同領(lǐng)域有很多演變，比如在信號(hào)處理中的小波變換，它也是采用一組基函數(shù)來(lái)表達(dá)信號(hào)，只不過(guò)克服了傅里葉變換不能同時(shí)做時(shí)頻分析的問(wèn)題。

傅里葉變換特殊的原因解釋

最后，我從純數(shù)學(xué)的角度說(shuō)一下傅里葉變化到底是什么。如果我們把函數(shù)看做向量，那么這些函數(shù)在加法和數(shù)乘兩種運(yùn)算下構(gòu)成一個(gè)線性空間。如果我們定義內(nèi)積

并且限定該集合是有界函數(shù)的子集，所謂有界是指內(nèi)積有界。那么上述線性空間就是一個(gè)希爾伯特空間。這里我們忽略這些嚴(yán)格的泛函分析中的定義，就簡(jiǎn)單地與歐式空間中的向量和內(nèi)積進(jìn)行類比即可。在這種類比下，一個(gè)函數(shù)就是一個(gè)向量。

在這種類比下（嚴(yán)格的證明需要用泛函分析那一套，這里我們只關(guān)注直觀的圖像理解），傅里葉變換就是這個(gè)向量空間中的一個(gè)幺正變換！我們知道，歐式空間中的線性變換都可以用一個(gè)矩陣A來(lái)表示傅里葉變換通俗理解，即變換

表示把向量x通過(guò)變換A變換為b！傅里葉變換就把時(shí)域函數(shù)f(t)變換到頻域函數(shù)F(w)!利用傅里葉變換的基本性質(zhì)，容易驗(yàn)證這個(gè)變換是一個(gè)幺正變換。

我們知道，線性變換的本質(zhì)就是選取的基向量不同。向量的每一個(gè)坐標(biāo)就是對(duì)應(yīng)基向量前面的系數(shù)！

那么在函數(shù)空間中，基向量是什么呢？在時(shí)域基向量可以看成delta函數(shù)

這里的積分可以類比于前面的求和，可以類比于基向量成為基函數(shù)，f(s)可以類比于是基函數(shù)前面的系數(shù)！

同樣的類比，傅里葉變換到頻域選取的基函數(shù)是

F(w)就是基函數(shù)前面的系數(shù)。傅里葉變換就是在這兩組基函數(shù)間的線性變換！

那么，問(wèn)題來(lái)了，線性變換這么多，為什么傅里葉變換這么特殊？

還記得線性代數(shù)中的線性方程Ax=b嗎？解這個(gè)方程的方法很多，高斯消元法是的方法之一。但是如果A是一個(gè)對(duì)角方陣，那么這個(gè)向量版的線性方程可以變?yōu)槎鄠€(gè)獨(dú)立的代數(shù)方程！

這種情況下，很容易求得！

上述情況過(guò)于特殊，我們考慮更一般的情況，如果A是對(duì)稱方陣，那么根據(jù)線性空間的特征值理論，可以找到矩陣A的所有互相正交的特征向量和特征值，然后將向量x和b表示成特征向量的組合。由于特征向量的正交關(guān)系，矩陣的代數(shù)方程可以化為n個(gè)標(biāo)量代數(shù)方程

是不是很神奇??！一個(gè)向量版的線性方程通過(guò)重新選取了一組基向量變成多個(gè)獨(dú)立的代數(shù)一次方程！

你會(huì)問(wèn)這跟傅里葉變換有毛關(guān)系？別急，我們?cè)賮?lái)看非齊次線性常微分方程

如果把左邊的線性算子部分看做線性變換，那么這個(gè)方程可以和上述向量版的線性方程進(jìn)行類比！把算子看做線性變換，那么我們可以采用上述類似的思路，把這個(gè)方程變成多個(gè)獨(dú)立的代數(shù)方程嗎？答案是肯定的，利用該算子的特征函數(shù)作為基函數(shù)重新選取基函數(shù)即可！可以驗(yàn)證指數(shù)函數(shù)是該的特征函數(shù)，對(duì)應(yīng)的特征值是

利用相似的思路，我門把函數(shù)都表示為基函數(shù)的線性組合

那么這樣一來(lái)，前述微分方程變成了多個(gè)標(biāo)量線性代數(shù)方程！

其實(shí)這個(gè)過(guò)程也可以看做對(duì)原始方程左右兩邊同時(shí)做傅里葉變換！這也是傅里葉變換求解常系數(shù)微分方程的理論基礎(chǔ)！

在常系數(shù)線性偏微分方程中也有類似結(jié)論！例如，考慮有源的拉普拉斯方程

容易驗(yàn)證基函數(shù)(其實(shí)就是格林函數(shù))

是拉普拉斯算子的特征函數(shù)！將場(chǎng)和源按照基函數(shù)展開(kāi)，就可以將原來(lái)的拉普拉斯方程變?yōu)槎鄠€(gè)標(biāo)量代數(shù)線性方程

上述傅里葉變換也可以用拉普拉斯變換替換，結(jié)論一樣！以上是我在上數(shù)理方程課程的時(shí)候體會(huì)到的。歸納起來(lái)，就是說(shuō)傅里葉變換就是線性空間中的一個(gè)特殊的正交變換！他之所以特殊是因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)是常系數(shù)微分算子的特征函數(shù)！而自然界常見(jiàn)的規(guī)律大多是用常系數(shù)微分方程描述，信號(hào)系統(tǒng)中更是常見(jiàn)，線性時(shí)不變系統(tǒng)都可以利用常系數(shù)微分方程描述，這使得傅里葉變換應(yīng)用十分廣泛！

其他微分算子的特征函數(shù)舉例

對(duì)于常系數(shù)線性微分算子，可以用指數(shù)函數(shù)作為基函數(shù)展開(kāi)，而對(duì)于變系數(shù)線性微分算子，其基函數(shù)就不再是簡(jiǎn)單的指數(shù)函數(shù)了。但是上述思想仍然可以利用，只不過(guò)基函數(shù)是一些特殊函數(shù)，如貝塞爾函數(shù)、勒讓德多項(xiàng)書函數(shù)等等！

所謂常系數(shù)微分算子就是具有這種形式的微分算子

對(duì)于變系數(shù)的微分算子，是自變量的函數(shù)，這種算子的特征函數(shù)并沒(méi)有一般性的結(jié)論。基本上每一類算子都會(huì)有自己特殊的特征函數(shù)，這里列舉幾個(gè)我遇到過(guò)多次的特征函數(shù)及變系數(shù)算子。

柱坐標(biāo)下的貝塞爾函數(shù)是下述微分算子的特征函數(shù)

球坐標(biāo)下的勒讓德多項(xiàng)式

它是下述微分算子的特征函數(shù)，這是一個(gè)變系數(shù)的微分算子

拉蓋爾多項(xiàng)式

這樣的例子還有很多，這些函數(shù)實(shí)際上都是一個(gè)函數(shù)族，這些函數(shù)互相正交，這和實(shí)對(duì)稱陣的本征向量互相正交的性質(zhì)一樣，這里的線性算子也是其泛函空間上的對(duì)稱軛米算子。這些函數(shù)族構(gòu)成一組完備正交基，可以表達(dá)對(duì)應(yīng)泛函空間中的任意函數(shù)。這和傅里葉變換的基函數(shù)——復(fù)指數(shù)函數(shù)一樣。