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摘要：將線性代數(shù)概念應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中scipy.linalg 使用 Python 和 NumPy處理向量和矩陣 使用線性系統(tǒng)模擬實(shí)際問(wèn)題 使用求解線性系統(tǒng) scipy.linalg

本文分享自華為云社區(qū)《使用scipy.linalg在Python中使用線性系統(tǒng)》，作者：Yuchuan。

線性代數(shù)廣泛應(yīng)用于各種學(xué)科，一旦您使用向量和線性方程等概念組織信息，您就可以用它來(lái)解決許多問(wèn)題。在Python中，與該主題相關(guān)的大多數(shù)例程都在中實(shí)現(xiàn)scipy.linalgpython創(chuàng)建矩陣，它提供了非?？焖俚木€性代數(shù)功能。

尤其是，線性系統(tǒng)在模擬各種現(xiàn)實(shí)世界問(wèn)題中發(fā)揮著重要作用，并scipy.linalg提供了以有效方式研究和解決這些問(wèn)題的工具。

在本教程中，您將學(xué)習(xí)如何：

讓我們開(kāi)始吧！

入門(mén)scipy.linalg

SciPy是一個(gè)用于科學(xué)計(jì)算的開(kāi)源Python庫(kù)，包括用于科學(xué)和工程中常見(jiàn)任務(wù)的幾個(gè)模塊，例如線性代數(shù)、優(yōu)化、積分、插值和信號(hào)處理。它是SciPy堆棧的一部分，其中包括其他幾個(gè)用于科學(xué)計(jì)算的包，例如NumPy、Matplotlib、SymPy、IPython和pandas。

線性代數(shù)是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，涉及線性方程及其使用向量和矩陣的表示。它是用于多個(gè)工程領(lǐng)域的基礎(chǔ)學(xué)科，也是深入了解機(jī)器學(xué)習(xí)的先決條件。

scipy.linalg包括用于處理線性代數(shù)問(wèn)題的多種工具，包括用于執(zhí)行矩陣計(jì)算的函數(shù)，例如行列式、逆矩陣、特征值、特征向量和奇異值分解。

在本教程中，您將使用from的一些函數(shù)scipy.linalg來(lái)解決涉及線性系統(tǒng)的實(shí)際問(wèn)題。為了使用scipy.linalg，您必須安裝和設(shè)置SciPy庫(kù)，您可以使用AnacondaPython發(fā)行版和conda包和環(huán)境管理系統(tǒng)來(lái)完成。

注意：要了解有關(guān)Anaconda和conda的更多信息，請(qǐng)查看在Windows上設(shè)置Python進(jìn)行機(jī)器學(xué)習(xí)。

首先，創(chuàng)建一個(gè)conda環(huán)境并激活它：

$condacreate--namelinalg$condaactivatelinalg

激活conda環(huán)境后，您的提示將顯示其名稱(chēng)linalg.然后你可以在環(huán)境中安裝必要的包：

(linalg)$condainstallscipyjupyter

執(zhí)行此命令后，系統(tǒng)應(yīng)該需要一段時(shí)間才能確定依賴(lài)項(xiàng)并繼續(xù)安裝。

注意：除了SciPy，您還將使用JupyterNotebook在交互式環(huán)境中運(yùn)行代碼。這樣做不是強(qiáng)制性的，但它有助于處理數(shù)值和科學(xué)應(yīng)用程序。

有關(guān)使用JupyterNotebooks的復(fù)習(xí)，請(qǐng)查看JupyterNotebook：簡(jiǎn)介。

如果您更喜歡使用不同的Python發(fā)行版和pip包管理器來(lái)閱讀本文，請(qǐng)展開(kāi)下面的可折疊部分以了解如何設(shè)置您的環(huán)境。

設(shè)置環(huán)境使用pip顯示隱藏

在打開(kāi)JupyterNotebook之前，您需要注冊(cè)condalinalg環(huán)境，以便您可以使用它作為內(nèi)核來(lái)創(chuàng)建Notebook。為此，在linalg激活環(huán)境的情況下，運(yùn)行以下命令：

(linalg)$python-mipykernelinstall--user--namelinalg

現(xiàn)在您可以通過(guò)運(yùn)行以下命令打開(kāi)JupyterNotebook：

$jupyternotebook

在瀏覽器中加載Jupyter后，通過(guò)點(diǎn)擊創(chuàng)建一個(gè)新的筆記本電腦新→linalg，如下圖所示：

內(nèi)的筆記本電腦，你可以測(cè)試是否安裝成功通過(guò)導(dǎo)入的scipy包：

>>>

In[1]:importscipy

現(xiàn)在您已經(jīng)完成了環(huán)境的設(shè)置，您將看到如何在Python中使用向量和矩陣，這是使用scipy.linalg線性代數(shù)應(yīng)用程序的基礎(chǔ)。

使用NumPy處理向量和矩陣

甲矢量是用來(lái)表示物理量同時(shí)具有大小和方向的數(shù)學(xué)實(shí)體。它是解決工程和機(jī)器學(xué)習(xí)問(wèn)題的基本工具，就像矩陣一樣，用于表示向量變換等應(yīng)用程序。

NumPy是Python中處理矩陣和向量的庫(kù)，用于處理scipy.linalg線性代數(shù)應(yīng)用程序。在本節(jié)中，您將了解使用它創(chuàng)建矩陣和向量并對(duì)其執(zhí)行操作的基礎(chǔ)知識(shí)。

要開(kāi)始處理矩陣和向量，您需要在JupyterNotebook中做的件事是導(dǎo)入numpy.通常的方法是使用別名np：

>>>

In[2]:importnumpyasnp

為了表示矩陣和向量，NumPy使用一種稱(chēng)為ndarray.

要?jiǎng)?chuàng)建ndarray對(duì)象，您可以使用np.array()，它需要一個(gè)類(lèi)似數(shù)組的對(duì)象，例如列表或嵌套列表。

例如，假設(shè)您需要?jiǎng)?chuàng)建以下矩陣：

要使用NumPy創(chuàng)建它，您可以使用np.array()，提供一個(gè)包含矩陣每一行元素的嵌套列表：

>>>

In[3]:A=np.array([[1,2],[3,4],[5,6]])...:AOut[3]:
array([[1,2],[3,4],[5,6]])

您可能會(huì)注意到，NumPy提供了矩陣的可視化表示，您可以在其中識(shí)別其列和行。

值得注意的是，NumPy數(shù)組的元素必須是相同類(lèi)型的。您可以使用以下方法檢查NumPy數(shù)組的類(lèi)型.dtype：

>>>

In[4]:A.dtypeOut[4]:dtype('int64')

由于的所有元素A都是整數(shù)，因此數(shù)組是用type創(chuàng)建的int64。如果元素之一是float，則將使用type創(chuàng)建數(shù)組float64：

In[5]:A=np.array([[1.0,2],[3,4],[5,6]])...:AOut[5]:array([[1.,2.],[3.,4.],[5.,6.]])In[6]:A.dtypeOut[6]:dtype('float64')

要檢查ndarray對(duì)象的尺寸，您可以使用.shape.例如，要檢查的尺寸A，您可以使用A.shape：

>>>

In[7]:A.shapeOut[7]:(3,2)

正如預(yù)期的那樣，A矩陣的維度是3×2因?yàn)锳有三行和兩列。

在處理涉及矩陣的問(wèn)題時(shí)，您通常需要使用轉(zhuǎn)置操作，它交換矩陣的列和行。

要轉(zhuǎn)置由ndarray對(duì)象表示的向量或矩陣，您可以使用.transpose()或.T。例如，你可以得到的轉(zhuǎn)A用A.T：

In[8]:A.TOut[8]:array([[1.,3.,5.],[2.,4.,6.]])

通過(guò)換位，列A變成了行，A.T行變成了列。

要?jiǎng)?chuàng)建向量，您可以使用np.array()，提供包含向量元素的列表：

>>>

In[9]:v=np.array([1,2,3])...:vOut[9]:array([1,2,3])

要檢查向量的維度，您可以.shape像以前一樣使用：

>>>

In[10]:v.shapeOut[10]:(3,)

請(qǐng)注意，此向量的形狀是(3,)andnot(3,1)or(1,3)。這是一個(gè)NumPy功能，適用于那些習(xí)慣使用MATLAB的人。在NumPy中，可以創(chuàng)建一維數(shù)組，例如v，這在執(zhí)行矩陣和向量之間的操作時(shí)可能會(huì)導(dǎo)致問(wèn)題。例如，轉(zhuǎn)置操作對(duì)一維數(shù)組沒(méi)有影響。

每當(dāng)您向提供類(lèi)似一維數(shù)組的參數(shù)時(shí)np.array()，生成的數(shù)組將是一維數(shù)組。要?jiǎng)?chuàng)建二維數(shù)組，您必須提供類(lèi)似二維數(shù)組的參數(shù)，例如嵌套列表：

>>>

In[11]:v=np.array([[1,2,3]])...:v.shapeOut[11]:(1,3)

在上述例子中，尺寸v是1×3，其對(duì)應(yīng)于一個(gè)兩維的線矢量的尺寸。要?jiǎng)?chuàng)建列向量，您可以使用嵌套列表：

>>>

In[12]:v=np.array([[1],[2],[3]])...:v.shapeOut[12]:(3,1)

在這種情況下，尺寸v為3×1，其對(duì)應(yīng)于一個(gè)兩維列向量的尺寸。

使用嵌套列表創(chuàng)建向量可能很費(fèi)力，尤其是對(duì)于使用最多的列向量。作為替代方案，您可以創(chuàng)建一個(gè)一維向量，為提供一個(gè)平面列表np.array，并用于.reshape()更改ndarray對(duì)象的維度：

In[13]:v=np.array([1,2,3]).reshape(3,1)...:v.shapeOut[13]:(3,1)

在上面的示例中，您使用從.reshape()形狀(3,1)為的一維向量獲取形狀的列向量(3,)。值得一提的是，.reshape()期望新數(shù)組的元素?cái)?shù)與原數(shù)組的元素?cái)?shù)兼容。換句話說(shuō)，具有新形狀的數(shù)組中的元素?cái)?shù)必須等于原始數(shù)組中的元素?cái)?shù)。

在這個(gè)例子中，你也可以在.reshape()不明確定義數(shù)組行數(shù)的情況下使用：

>>>

In[14]:v=np.array([1,2,3]).reshape(-1,1)...:v.shapeOut[14]:(3,1)

在這里，-1您提供的參數(shù).reshape()表示新數(shù)組只有一列所需的行數(shù)，如第二個(gè)參數(shù)所。在這種情況下，由于原始數(shù)組具有三個(gè)元素，因此新數(shù)組的行數(shù)將為3。

在實(shí)際應(yīng)用中，您經(jīng)常需要?jiǎng)?chuàng)建零、一或隨機(jī)元素的矩陣。為此，NumPy提供了一些方便的函數(shù)，接下來(lái)您將看到這些函數(shù)。

使用便捷函數(shù)創(chuàng)建數(shù)組

NumPy還提供了一些方便的函數(shù)來(lái)創(chuàng)建數(shù)組。例如，要?jiǎng)?chuàng)建一個(gè)填充零的數(shù)組，您可以使用np.zeros()：

>>>

In[15]:A=np.zeros((3,2))...:AOut[15]:array([[0.,0.],[0.,0.],[0.,0.]])

作為它的個(gè)參數(shù)，np.zeros()需要一個(gè)元組來(lái)指示您要?jiǎng)?chuàng)建的數(shù)組的形狀，它返回一個(gè)類(lèi)型為的數(shù)組float64。

同樣，要?jiǎng)?chuàng)建填充數(shù)組，您可以使用np.ones()：

>>>

In[16]:A=np.ones((2,3))...:AOut[16]:array([[1.,1.,1.],[1.,1.,1.]])

值得注意的是，np.ones()它還返回一個(gè)類(lèi)型為的數(shù)組float64。

要?jiǎng)?chuàng)建具有隨機(jī)元素的數(shù)組，您可以使用np.random.rand()：

In[17]:A=np.random.rand(3,2)...:AOut[17]:array([[0.8206045,0.],[0.9490381,0.],[0.,0.4709059]])

np.random.rand()返回一個(gè)包含從0到的隨機(jī)元素的數(shù)組1，取自均勻分布。請(qǐng)注意，與np.zeros()and不同np.ones()，np.random.rand()它不期望元組作為其參數(shù)。

同樣，要從均值和單位方差為零的正態(tài)分布中獲取隨機(jī)元素的數(shù)組，您可以使用np.random.randn()：

>>>

In[18]:A=np.random.randn(3,2)...:AOut[18]:array([[-1.,-1.],[-0.,-0.],[0.,-2.]])

現(xiàn)在您已經(jīng)創(chuàng)建了數(shù)組，您將看到如何使用它們執(zhí)行操作。

對(duì)NumPy數(shù)組執(zhí)行操作

在數(shù)組上使用加法(+)、減法(-)、乘法(*)、除法(/)和指數(shù)(**)運(yùn)算符的常見(jiàn)Python運(yùn)算始終按元素執(zhí)行。如果操作數(shù)之一是標(biāo)量，則將在標(biāo)量和數(shù)組的每個(gè)元素之間執(zhí)行操作。

例如，為了創(chuàng)建填充元素的矩陣等于10，則可以使用np.ones()由和乘法的輸出10使用*：

>>>

In[19]:A=10*np.ones((2,2))...:AOut[19]:array([[10.,10.],[10.,10.]])

如果兩個(gè)操作數(shù)都是相同形狀的數(shù)組，則將在數(shù)組的對(duì)應(yīng)元素之間執(zhí)行操作：

>>>

In[20]:A=10*np.ones((2,2))...:B=np.array([[2,2],[5,5]])...:C=A*B...:COut[20]:array([[20.,20.],[50.,50.]])

在這里，您將matrixA的每個(gè)元素乘以matrix的相應(yīng)元素B。

要根據(jù)線性代數(shù)規(guī)則執(zhí)行矩陣乘法，您可以使用np.dot()：

>>>

In[21]:A=np.array([[1,2],[3,4]])...:v=np.array([[5],[6]])...:x=np.dot(A,v)...:xOut[21]:array([[17],[39]])

在這里，您乘以一個(gè)2×2矩陣A，該矩陣由一個(gè)名為的2×1向量命名v。

您可以使用@運(yùn)算符獲得相同的結(jié)果，從PEP465和Python3.5開(kāi)始，NumPy和本機(jī)Python都支持該運(yùn)算符：

>>>

In[22]:A=np.array([[1,2],[3,4]])...:v=np.array([[5],[6]])...:x=A@v...:xOut[22]:array([[17],[39]])

除了處理矩陣和向量的基本操作外，NumPy還提供了一些特定的函數(shù)來(lái)處理numpy.linalg.但是，對(duì)于這些應(yīng)用程序，它scipy.linalg具有一些優(yōu)勢(shì)，您將在下面看到。

比較scipy.linalg用numpy.linalg

NumPy在numpy.linalg模塊中包含一些用于處理線性代數(shù)應(yīng)用程序的工具。但是，除非您不想將SciPy作為依賴(lài)項(xiàng)添加到項(xiàng)目中，否則通常使用scipy.linalg，原因如下：

總之，考慮到科學(xué)和技術(shù)應(yīng)用一般沒(méi)有關(guān)于限制的依賴(lài)，它通常是一個(gè)好主意，安裝SciPy的和使用scipy.linalg代替numpy.linalg。

在下一節(jié)中，您將使用scipy.linalg工具來(lái)處理線性系統(tǒng)。您將首先通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的示例了解基礎(chǔ)知識(shí)，然后將這些概念應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題。

使用scipy.linalg.solve()求解線性系統(tǒng)

線性系統(tǒng)可以成為解決幾個(gè)實(shí)際和重要問(wèn)題的有用工具，包括與車(chē)輛交通、平衡化學(xué)方程式、電路和多項(xiàng)式插值相關(guān)的問(wèn)題。

在本節(jié)中，您將學(xué)習(xí)如何使用scipy.linalg.solve()來(lái)求解線性系統(tǒng)。但是在開(kāi)始編寫(xiě)代碼之前，了解基礎(chǔ)知識(shí)很重要。

了解線性系統(tǒng)

甲線性系統(tǒng)，或者更精確地說(shuō)，線性方程系統(tǒng)，是一組直線與一組變量方程。以下是與變量x?、x?和x?相關(guān)的線性系統(tǒng)示例：

這里有涉及三個(gè)變量的三個(gè)方程。為了有一個(gè)線性系統(tǒng)，值??...??和b?...b?必須是常數(shù)。

當(dāng)只有兩個(gè)或三個(gè)方程和變量時(shí)，可以手動(dòng)執(zhí)行計(jì)算、組合方程并找到變量的值。但是，對(duì)于四個(gè)或更多變量，手動(dòng)求解線性系統(tǒng)需要相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間，并且經(jīng)常會(huì)出錯(cuò)。

實(shí)際應(yīng)用通常涉及大量變量，這使得手動(dòng)求解線性系統(tǒng)是不可行的。幸運(yùn)的是，有一些工具可以完成這項(xiàng)艱巨的工作，例如scipy.linalg.solve().

使用scipy.linalg.solve()

SciPy提供scipy.linalg.solve()快速且可靠的方式求解線性系統(tǒng)。要了解它是如何工作的，請(qǐng)考慮以下系統(tǒng)：

為了使用scipy.linalg.solve()，您首先需要將線性系統(tǒng)寫(xiě)為矩陣乘積，如下面的等式所示：

請(qǐng)注意，您將在計(jì)算矩陣乘積后得出系統(tǒng)的原始方程。scipy.linalg.solve()期望求解的輸入是matrixA和vectorb，您可以使用NumPy數(shù)組定義它們。這樣，您可以使用以下代碼解決系統(tǒng)問(wèn)題：

>>>

1In[1]:importnumpyasnp2...:fromscipy.linalgimportsolve34In[2]:A=np.array(5...:[6...:[3,2],7...:[2,-1],8...:]9...:)1011In[3]:b=np.array([12,1]).reshape((2,1))1213In[4]:x=solve(A,b)14...:x
15Out[4]:16array([[2.],17[3.]])

以下是正在發(fā)生的事情的細(xì)分：

如果將原始方程中的x?=2和x?=3替換，則可以驗(yàn)證這是系統(tǒng)的解。

現(xiàn)在您已經(jīng)了解了使用的基礎(chǔ)知識(shí)scipy.linalg.solve()，是時(shí)候了解線性系統(tǒng)的實(shí)際應(yīng)用了。

解決實(shí)際問(wèn)題：BuildingaMealPlan

通常使用線性系統(tǒng)解決的一類(lèi)問(wèn)題是當(dāng)您需要找到獲得某種混合物所需的組件比例時(shí)。下面，您將使用這個(gè)想法來(lái)制定膳食計(jì)劃，混合不同的食物以獲得均衡的飲食。

為此python創(chuàng)建矩陣，請(qǐng)考慮均衡飲食應(yīng)包括以下內(nèi)容：

你的任務(wù)是找出每種不同食物的數(shù)量，以獲得數(shù)量的維生素。在下表中，您可以根據(jù)每種維生素的單位分析1克每種食物的結(jié)果：

你的任務(wù)是找出每種不同食物的數(shù)量，以獲得數(shù)量的維生素。在下表中，您可以根據(jù)每種維生素的單位分析1克每種食物的結(jié)果：

通過(guò)將食物1表示為x?等，并考慮到您將混合x(chóng)?單位的食物1、x2單位的食物2等等，您可以寫(xiě)出您所攝入的量的表達(dá)式d進(jìn)入組合?？紤]到均衡飲食應(yīng)包含170個(gè)單位的，您??可以使用列中的數(shù)據(jù)寫(xiě)出以下等式：

對(duì)、C、D和E重復(fù)相同的過(guò)程，您會(huì)得到以下線性系統(tǒng)：

要使用scipy.linalg.solve()，您必須獲得系數(shù)矩陣A和獨(dú)立項(xiàng)向量b，它們由以下給出：

現(xiàn)在您只需使用scipy.linalg.solve()來(lái)找出數(shù)量x?,…,x?：

>>>

In[1]:importnumpyasnp...:fromscipy.linalgimportsolveIn[2]:A=np.array(...:[...:[1,9,2,1,1],...:[10,1,2,1,1],...:[1,0,5,1,1],...:[2,1,1,2,9],...:[2,1,2,13,2],...:]...:)In[3]:b=np.array([170,180,140,180,350]).reshape((5,1))In[4]:x=solve(A,b)...:xOut[4]:array([[10.],[10.],[20.],[20.],[10.]])

這表明均衡飲食應(yīng)包括10食物單位1、食物10單位2、20食物20單位3、食物單位4和10食物單位5。

結(jié)論

恭喜！您已經(jīng)學(xué)習(xí)了如何使用一些線性代數(shù)概念以及如何使用scipy.linalg來(lái)解決涉及線性系統(tǒng)的問(wèn)題。您已經(jīng)看到向量和矩陣可用于表示數(shù)據(jù)，并且通過(guò)使用線性代數(shù)概念，您可以對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行建模并以有效的方式解決它們。

在本教程中，您學(xué)習(xí)了如何：

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